テブナンの定理

テブナンの定理とは

テブナンの定理は、キルヒホッフの法則で解くと時間がかかる場合に役立ちます。
図1の回路でこの定理を考えます。
図1

図2は、図1の半分から左側の回路を切りとった図です。
図2

図2を簡単にするため図3に変形します。
図3

図2の回路は、RaとRbが並列になっていますので、a-b間の抵抗Rxは、
Rx=Ra×Rb/Ra＋Rb　・・・�@

点bから時計回りにキルヒホッフの法則を適用すると、
Ea-IaRa＋IbRb-Eb=0　・・・�A

図より
Ib=-Ia　・・・�B

�Bを�Aに代入すると、
Ea-IaRa＋IbRb-Eb=Ea-IaRa-IaRb-Eb
=Ea-Ia(Ra＋Rb)-Eb=0　・・・�C

�Cを変形すると、
Ea-Ia(Ra＋Rb)-Eb=0
Ea-Eb=Ia(Ra＋Rb)
Ia=(Ea-Eb)/(Ra＋Rb)　・・・�D

a-b間の電圧Exは、b点からEa、Raを通りa点へIaが流れているので
Ex=Ea-IaRa
=Ea-(Ea-Eb)Ra/(Ra＋Rb)　・・・�E

�@と�Eより、テブナンの定理を適用すると、図1は図3のように変形できます。
図3

Rx=Ra×Rb/Ra＋Rb
Ex=Ea-(Ea-Eb)Ra/(Ra＋Rb)

テブナンの定理の使い方

＜例題＞
下図のような、6[V]と8[V]の電池、3[Ω]と4[Ω]と12[Ω]の抵抗からなる回路がある。
Icを求めよ。
テブナンの定理より
Rx=Ra×Rb/Ra＋Rb　・・・�@
Ex=Ea＋(Ea-Eb)Ra/(Ra＋Rb)　・・・�A

�@に抵抗3[Ω]と4[Ω]を代入すると、
Rx=Ra×Rb/Ra＋Rb=3×4/3＋4=12/7

�Aに抵抗3[Ω]と4[Ω]、電圧6[V]と8[V]を代入すると、
Ex=Ea-(Ea-Eb)Ra/(Ra＋Rb)
=6-｛(6-8)×3｝/(3＋4)
=6-(-6)/7
=48/7
よって例題の図は下図のように変形できる。

この図より
Ic=E/R
=(48/7)/(12/7＋12)
=(48/7)/(12/7＋84/7)
=(48/7)/(96/7)
=48/96
=0.5[A]

答え　Ic=0.5[A]

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