ビオ・サバールの法則

電流が作る磁界の強さ

図1

電流が流れている導体の微小長さ部分が作る磁界の強さを表すのが、ビオ・サバールの法則です。
電流をI、微小長さをdl、任意の地点と微小長さ部分の距離をr、微小長さ部分の接線と微小長さ部分と任意の点を結ぶ線の成す角をθとすると、任意の点における磁界の強さdHは、
dH=Isinθdl/4πr²
となります。

無限長直線導体に流れる電流による磁界

無限に長い直線導体に電流が流れているとき、導体からx[m]離れた点に発生する磁界の強さを求めてみます。
図2

電流をI、微小長さをdl、任意の地点と微小長さ部分の距離をr、微小長さ部分の接線と微小長さ部分と任意の点を結ぶ線の成す角をθとすると、任意の点における磁界の強さdHはビオ・サバールの法則より、
dH=Isinθdl/4πr²

xとlの関係をθで表すと、
tanθ=x/l
なので
l=x/tanθ

xとrの関係をθで表すと
sinθ=x/r
なので
r=x/sinθ

lをθで微分すると、
dl/dθ=-x/sin²θ
なので
dl=-x/sin²θdθ

よって
dH=Isinθdl/4πr²
　={I/4π(x/sinθ)²}sinθ(-x/sin²θ)dθ
　=-Isinθdθ/4πx

点Cから左の導体に流れる電流が点Bに作る磁界の強さH_Lは
H_L=(-I/4πx)∫sinθdθ　【積分範囲π/2〜0】
=I/4πx

点Cから右の導体に流れる電流が点Bに作る磁界の強さH_RはH_Lに等しいため、H_LとH_Rの合計のHは、
H=H_L×2
=I/2πx

よって無限に長い直線導体がx[m]離れた点に作る磁界の強さは
H=I/2πx
となります。
この式はアンペア周回積分から求められる式と同じになります。

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