試験問題　技術士一次試験　共通科目　数学

問題(平成11年)

sinθ＋cosθ=1/2のとき、sin³θ＋cos³θの値は次のどれか。
(1)　2
(2)　1/8
(3)　5/8
(4)　5/16
(5)　11/16

解答

(5)

解説

(sinθ＋cosθ)³=sin³θ＋3sinθ²cosθ＋3sinθcosθ²＋cos³θ

sinθ²=sin²θ=1-cos²θ
cosθ²=cos²θ=1-sin²θ

(sinθ＋cosθ)³=sin³θ＋3(1-cos²θ)cosθ＋3sinθ(1-sin²θ
)＋cos³θ
=sin³θ＋3cosθ-3cos³θ＋3sinθ-3sin³θ
＋cos³θ
=-2sin³θ-2cos³θ＋3cosθ＋3sinθ

2sin³θ＋2cos³θ=3cosθ＋3sinθ-(sinθ＋cosθ)³
sin³θ＋cos³θ=｛3(sinθ＋cosθ)-(sinθ＋cosθ)³｝×1/2
=11/16

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