過渡現象(R-C直列回路)

R-C直列回路に流れる電流を求める

図1

図1の抵抗Rと静電容量Cの直列回路で、t=0でスイッチを投入した場合の電流を求めます。
スイッチを入れる前は静電容量Cは充電されていない状態、つまりt=0で静電容量Cの電荷q=0とします。
電流iは、単位時間に静電容量に蓄えられた電荷の量と等しいので、
i=　dq/dt
キルヒホッフの法則により、微分方程式
R　dq/dt　＋q/C=E
が成り立ちます。この微分方程式を変数分離します。
R　dt/dq　=E-q/C
=(CE-q)/C
dq/dt=(CE-q)/CR
dt=｛CR/(CE-q)｝dq
両辺を積分します。
∫dt=∫｛CR/(CE-q)｝dq
t=CR∫｛1/(CE-q)｝dq
∫(1/x)dx=log　xより、x=(CE-q)として置換積分をすると、
t=CR　log　(CE-q)×(-1)＋k
=-CR　log　(CE-q)＋k
となります。kは積分定数です。
この式を整理すると、
t-k=-CR　log　(CE-q)
(-1/CR)(t-k)=log　(CE-q)
Y=log　X　は、X=ε^Yという意味ですので、
CE-q=ε^(-1/CR)(t-k)
=ε^(-1/CR)t　×　ε^(-1/CR)(-k)
となります。
ε^(-1/CR)(-k)=Kと置くと、
CE-q=Kε^(-1/CR)t　・・・�@
スイッチを投入する前の静電容量Cの電荷q=0であり、t=0でスイッチを投入したので、t=0でq=0となります。これを代入すると、
CE-0=Kε⁰
CE=K
よって�@式は
CE-q=CEε^(-1/CR)t
-q=CEε^(-1/CR)t-CE
q=-CEε^(-1/CR)t＋CE
=CE｛1-ε^(-1/CR)t｝　・・・�A
となります。
電流iは、
i=　dq/dt
=d/dt　CE｛1-ε^(-1/CR)t｝
=-CEε^(-1/CR)t×(-1/CR)
=(-CE/-CR)ε^(-1/CR)t
=E/R　ε^(-1/CR)t
となります。

定常項と過渡項

静電容量の電荷は、 �A式のように
q=CE｛1-ε^(-1/CR)t｝
と求められました。�A式は
q=CE-CEε^(-1/CR)t　・・・�B
と変換できます。
CEの部分は定常項といい、-CEε^(-1/CR)tは過渡項といいます。
定常項は時間の変化に関係なく一定であり、過渡項は時間の変化によって変化する部分です。

過渡項に着目すると、t=0のとき過渡項は
-CEε^(-1/CR)t=-CEε⁰
=-CE
となり、�B式は
Q=CE-CE
=0
となります。スイッチを投入する前の静電容量Cの電荷q=0であり、t=0でスイッチを投入したので、t=0でq=0となります。
逆にt=∞のときは、
-CEε^(-1/CR)t=-CEε^-∞
=0
となり、�B式は
i=CE-0
=CE
となります。t=∞、つまりスイッチを投入後長時間経つと電荷はCEとなります。
静電容量Cの両端の電圧はEになるため電流が0となり、定常状態になります。

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